論理学（logic）
◆古典論理1：アリストテレス以前の論理思想
□「形式論理学の起源はディアレクティケー（弁証術）にある。その創始者とされるエレア派のゼノンは、彼の師パルメニデスの説に反対する主張を論駁するために、背理法を用いて運動否定の論証などを展開しているが、このような方法は、ソクラテスやプラトンに受け継がれ、またメガラ派やストア派にも影響を及ぼしている。ディアレクティケーはプラトンの『パイドン』など中期対話・・105 篇では「仮設（hypothesis）の方法」として、また『ソピステス』など後期対話篇では「分割（diairesis）の方法」として遂行され、前者においては仮設の無矛盾性を調べるために、後者においては定義の十全性を調べるために、背理法が援用されている。アリストテレスのシュロギスモス（三段論法、syllogismos）の着想は、彼が「弱いシュロギスモス」と呼んで批判した、この分割法に発すると思われる」（浅野［1977→2011：105-106］）
◆アリストテレスの論理学
・概要
□「［…］古代ギリシアでは、基本概念と基本前提とを提示し、あとの概念の定義と、論証とを、この基本的なセットだけによって行う、いわゆる〈公理論〉の方法が数学でもちいられていたことが知られている。その成果の集大成がアレクサンドレイアのエククレイデスの『原論』であるが、これにさきだってあらわされたと思われる、アリストテレスの論理学上の著作『分析論後書』にも、この数学の公理論的構成に注意を払っている面がみられる。エウクレイデスで明示的にとりあげられる概念は、数や幾何学的図形に関するものであるが、アリストテレスは、より基本的な、個物・集合・性質・関係などの概念を重視した。また推論の整理分類も、当時としてはきわめて入念におこなっていた。そこで、彼の論理学は、ながいこと完成したもののようにみなされ、ヘレニズムの時代や、中世にも論理学の進歩はあったものの、それはアリストテレスの仕事に加えるところが大きいものとは必ずしもみなされなかった」（吉田［1998：1756］）
□「最初に、これを抽象的、形式的な学問として組織化したのはアリストテレス Aristotelēs である。彼はこれを彼の著作 Metaphysica と、後世「Organon」として一括して呼ばれる6編の書 De categoriis、 De interpretatione、 Analytica priora、Topica、De sophistics elenchis のなかで展開した。この体系は現在は古典論理とも呼ばれ、内容的には現代論理学の命題理論と一階の単項述語論理と言われるものに対応する。とくに三段論法（syllogism）と呼ばれているものが中心となっているのが特徴である。その後、論理学は18世紀にいたるまで一歩の進歩も一歩の後退もなかったという（カント Immanuel Kant）」（坂本［2002：988］）
・シュロギスモス体系（三段論法）
□「歴史上最初の形式論理学の演繹体系は、アリストテレスによって実現された。それは『分析論前書』に示されたシュロギスモス体系である。それによれば、全称否定・全称肯定・特殊肯定の3個の命題における主語と述語の交換を許す換位肯定と最終的には2個（すなわち「AがすべてのBに、BがすべてのΓに述語となるならば、AはすべてのΓに述語になる」と「AはいかなるBにも述語とならず、BはすべてのΓに述語となるならば、AはいかなるΓにも述語にならない」）の「完全」なシュロギスモスを原理として、それらを用いて、背理法をも援用しながら、他のすべての妥当なシュロギスモスを証明することができる。しかも、体系内で扱われる命題の主語や述語となる名辞（項）は変数とみなされるA、Bなどの文字で表わされているために、実例をもって例証する必要がなく、まったく形式的に証明することがはじめて可能となったのである」（浅野［1977→2011：106］）
□「しかし、シュロギスモス体系は現代論理学に比して、重要ないくつかの特徴をもっている。第1に、それは名辞論理学であり、命題論理学を欠いている。第2に、そこで扱われる命題は量に関しては全称と特殊に限られ、単称命題は排除されている。したがって、命題の主語・述語となる名辞はすべて類・種（普遍）を表わす一般名・・106 辞であって、個体を表わす個別名辞ではない。第3に、その体系内の名辞として関係名辞は現われることができないので、それは関係を述べる表現を取扱うことができない。第4に、それら一般名辞が表わす類・種に属する個体が存在する（いかなる名辞も空ではない）という存在仮定が、暗黙のうちに当然のこととして認められている。以上の点で、現代の述語論理学ほど多くのことを証明できないのである」（浅野［1977→2011：106-107］）
◆メガラ派の論理学
□「メガラ派の論理学者ディオドロス・クロノスとその弟子メガラのピロン（Philōn）は、様相概念を検討し、条件命題の論理的性質をはじめて論究した。このようなメガラ派の着想を発展させ、ストア派の論理学の演繹体系を構築したのは、クリュッシッポスであるといわれる」（浅野［1977→2011：107］）
◆現代論理
□「19世紀前半に、特に解析学を矛盾から解放するための、いわゆる数学の厳密化が進行するにつれ、数学の証明の論理的分析には、アリストテレスの成果だけでは不十分であることが意識されるようになり、論理学の新しい体系が求められるようになった。後半、カントルにより集合論が提示され、数学の諸分野の統一という大事業が完成したが、同時に集合論の内部に矛盾が発見され、数学の証明の分析が更に徹底して行われるようになった。その結果成立したのが〈現代論理学〉であるが、これが、アリストテレス論理学の否定の上に成り立つとするのは誤解であり、これはむしろ、アリストテレス流の論理学を大きく発展させたものというべきである。そのうち、正しい推論の形式の分類は、19世紀末のフレーゲの述語論理の体系によって一応完成しているものと思われる」（吉田［1998：1756］）
□「19世紀末にいたり、当時の、集合論、代数学を含む数学全体の整合性を求めて論理学が急速に拡大され、また、より形式的なものとなり、記号化されて、厳密なものとなった。まず、フレーゲ Friedrich Ludwig Gottlob Frege がその公理体系化に成功し（1879）、後に1912年にラッセル Bertrand Russell がより簡略な公理と、いわゆる、ラッセルのパラドクスを避けて、自然数論を公理化することができる第二階の述語論理を含む現代論理体系を彼の共著 Principia Mathematica（1910-13）の中で発表し、また、後に、1930年にゲーデル Kurt Gödel により、第一階の述語論理の完全性が証明され、ここで現代論理学は確立された」（坂本［2002：988］） □「（その後）1931年にゲーデルは自然数論を含む第二階の述語論理に完全なものはありえないこと（不完全性定理）を証明し、数理哲学的解釈をともなって話題を呼び、また、多年、問題となっていたカントール Georg Cantor の連続体仮説がZF集合論の公理体系において無矛盾であるという形で解決され、現代論理学の有効性が示された」（坂本［2002：988］）
◆現代論理学の体系
□「現代論理学の体系は命題論理と述語論理（第一階の述語論理と第二階の述語論理）とからなる」（坂本［2002：988］）
・命題論理（propositional logic）
□「「太郎は花子が好きだが、花子は太郎がきらいだ」という文は、単一の文であるが、その構成要素のなかには「太郎は花子が好きだ」「花子は太郎がきらいだ」のように、それ自体文であるものを含む。このような事実に着目すれば、文は、その構成要素として別の文を含まない単純な文と、別の文を構成要素として含む複雑な文とに分類される。最初に挙げた例では、接続詞「が」が、単純な文から複雑な文を作り出す働きをもつ。このような働きをもつ言葉を、〈文結合子（sentential connective）〉と呼ぶ。文結合子にはさまざまなものがあるが、その機能がもっぱら論理的なものであると考えられる文結合子を、〈論理結合子（logical connective）〉と呼ぶ。「ということはない」（否定）、「かつ」（連言）、「あるいは」（選言）、「ならば」（条件法）などがその典型である。（否定は、複数の文から別の文を作るのではなく、ひとつの文から別の文を作るゆえに、〈文結合子〉と呼ぶのは適切ではないかもしれないが、このような〈文オペレータ〉もまた通常、文結合子の一種とされる。）命題論理とは、複雑な文の構成法を論理的結合子に限定したときに、どのような推論が妥当となるかを研究する論理学の分野である。以上の説明からは、これを〈文論理〉と呼ぶ方が適切であると思われようが、現在広く使われている呼称は〈命題論理〉の方である。・・1579
アリストテレスの論理学は、命題論理に相当する部分をもたなかった。命題論理の研究は、古代のストア派とともに始まったとされる。現在あるような命題論理は、フレーゲが、その論理的体系の一部として初めて明確にしたものである。フレーゲは、論理結合子として否定と条件法を基礎にとり、連言および選言をそれらから定義した。これらの論理結合子の際立った特徴は、それによって構成される複雑な文の真偽が、構成要素となっている文の真偽によって完全に決定されることである。こうした特徴をもつ結合子は〈真理関数的結合子（truth-functional connective）〉と呼ばれる。真理関数的結合子のみが論理結合子であり、さらに、すべての文は真もしくは偽である（二値原理）という仮定に立つ命題論理は、〈古典命題論理（classical propositional logic）〉と呼ばれる」（飯田［1998b：1579-1580］）
□「命題論理とは真、または、偽であるもの（命題という。通常P、Q、R、…のように記号化される）か、その否定（~P、~Q、~R、…のように表す）の数個の論理語（日常的表現における「または」、「かつ」、「ならば」などとほぼ対応する語で、それぞれ「∨」「∧」「⊃」などと記号化する）を用いて結合してできる全体表現（複合命題ともいう）の真偽を決定する規則を体系化したものである。複合命題の中で、それに含まれる要素命題P、Q、R、…が真偽のいずれの値をとっても全体としては真となる場合、そのような複合命題をトートロジーとよぶ。トートロジーの中にアリストテレス以来の古典論理において命題論理の範囲で論理法則といわれるもの（同一律、矛盾律 排中律、対偶法則など）がすべて含まれる。基本的には公理体系の形態をとる」（坂本［2002：988］）
□「論理学の中で、命題を基本の単位として扱う大系。命題の内部構造までを扱うものは述語論理という。古典論理、直観主義論理、様相論理などさまざまな論理体系に対して命題論理が考察されるが、古典命題論理を指すことが多い。対象となる論理式は基本単位となる命題変数から、4つの論理結合子 ∧（論理積）、∨（論理和）、¬（否定）、⊃（含意）によって構成される。A ∧ B、A ∨ B、¬A、A ⊃ B はそれぞれ“AかつB”、“AまたはB”、“Aでない”、“AならばB”と読まれる。しばしば（A ⊃ B）∧ （B ⊃ A）を A ≡ B と略し、論理結合子 ≡ （同値）をみる」（浜野［2002b：914］）
◆述語論理（predicate logic）
□「現代の論理学の中核的部分。命題論理においては、単純な文から複雑な文がどのように構成されるかだけに着目して、文のあいだの論理的関係を研究するが、そうした枠組のなかでは、「太郎は花子をねたんでいる。だ・・747 から、太郎はだれかをねたんでいる」といった推論の妥当性を説明できない。その理由は、命題論理が、文よりも小さな単位から文がどのようにできているか、つまり、文の内部構造を考慮に入れないからである。ここに挙げた例では、前提と結論が「太郎」「―は…をねたんでいる」といった構成要素を共通に含んでいること、ならびに、「だれか」という表現の出現が、その妥当性に寄与している。よって、単純な文であっても、それがどのような構造をもっているかの考慮なしでは、この推論の妥当性は説明できないことがわかる。
文の構造についての述語論理の考え方は、つぎの3点に要約できる。（1）単純な文は、名前と単純な述語から構成される。たとえば、「太郎は花子をねたんでいる」という文は、「太郎」「花子」という2つの名前と「xはyをねたんでいる」という単純な述語からできていると考える。（2）命題結合詞によって、述語や文から、より複雑な述語や文を構成できる。たとえば、「xはyをねたんでいる」と「yはxをねたんでいる」を、選言（「かつ」）で結合することによって、「xとyはたがいにねたみあっている」という意味の複雑な述語が構成される。（3）単純であろうが複雑であろうが、述語に対して〈量化〉と呼ばれる操作を施すことによって、別の述語もしくは文を構成することができる。量化には、「すべての」を意味する全称量化――記号「∀」で表わされる――と、「少なくともひとつの」を意味する存在量化――記号「∃」で表わされる――の2種類がある。たとえば、「太郎はyをねたんでいる」という述語に対して存在量化を施すことによって、「∃ y（太郎はyをねたんでいる）」という文が作られる。後者は、「少なくともひとりのひとについて、太郎はそのひとをねたんでいる」と読まれる。つまり、それは、「太郎はだれかをねたんでいる」と同じ意味である。述語論理の最大の特徴は、量化の取り扱いにある。したがって、述語論理はしばしば〈量化理論（quantification theory）」とも呼ばれる」（飯田［1998a：748］）
□「命題論理に対してさらに量を表す論理後（「すべての」、「ある一部の」などの語。それぞれ「∀」、「∃」で表す。これを量記号という）と述語記号（G、Fなどと表す）と個体変項（x、y、z、…）とその使用規則を導入して構成される無矛盾、完全な体系を第一階の述語論理と言う。この体系は数学を含む日常的な論理を厳密に形式化したものと解釈できる。古典的三段論法はこの第一階の述語論理の一部として位置づけられる」（坂本［2002：988］）