公理（axiom）と公理的方法（axiomatic method）
◆公理的方法
□「ある理論を基礎づけるために、基本概念の定義と、公準あるいは公理と呼ばれるいくつかの基本命題を前提として、他の命題を段階的に証明する方法をいう。
公理と論証による学問の構想は『分析論後書』などのアリストテレスの著作にも見られるが、こうした学問体系を実際に構築することに成功したのは、紀元前300年頃編纂されたエウクレイデスの『原論』であった。この著作は、点・直線・円・角に関する5つの〈要請〉（公準）と、より一般的な命題から成る〈要請〉（公理）に基づいて当時のギリシアの幾何学と数論の成果を集大成し、体系的な論証を与えたものである。『原論』は確実な知識の典型として後世の学問に深い影響を与え、特に17世紀以降の近代科学の勃興器には、『原論』の方法を他の学問にも応用しようという機運が高まった。たとえばデカルトは自然学の原理を幾何学の原理から導こうと試み、またスピノザの形而上学やニュートンの力学の体系は『原論』に倣って公理論的様式で叙述された。しかし当時の哲学における〈幾何学的方法〉は、論理的推論よりも直観的な自明さを重視するものであり、それは近代的な空間概念の確立に寄与したものの哲学の基礎づけには十分な成果を上げなかった」（佐藤［1998：507］）
◆ヒルベルトの公理主義
□「ヒルベルト以降の現代的〈公理主義〉においては、公理を仮説的に置き、そこから導き出される命題群から矛盾が出てこなければ、その公理体系は認容されるべきだとされた。が、十分豊かな数学体系では、そういった無矛盾性の証明は当該数学体系の内部では不可能であることが示され、結局、公理は仮説性を持ち続けることが明らかにされた。現代数学において、公理はほとんど例外なく、理論の出発点となる仮説と見なされ、その存在論的意義などは議論されることがない」（佐々木［1998：504］）
□「公理的方法の新たな発展のきっかけとなったのは、19世紀前半の非ユークリッド幾何学の発見であった。リーマンはこの発見を契機として、幾何学の公理は自明の真理であるという従来の常識を覆し、公・・507 理は仮説であり、公理の選択次第でさまざまな異なる幾何学が可能であることを明らかにしたが、この思想を一般化して、数論や集合論を含む数学全体を仮説的な公理体系として展開しようとする〈公理主義〉の立場を確立したのはヒルベルトである。彼は『幾何学の基礎』〔1899〕において、『原論』の不備を補ってユークリッド幾何学の完全な公理系を提示した。その際彼は点・直線・平面などの基本概念を〈無定義概念〉とし、それらの概念の間の相互関係を5つの公理群によって規定した。その上で彼は実数あるいは実関数の集合を用いて公理群のさまざまな組合わせに対応するモデルを作り、それによって、これらの公理の無矛盾性と独立性を証明した」（佐藤［1998：507-508］）